LINEAR PROGRAMMING :
METODE GRAFIK
PENDAHULUAN
Linear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu
manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan sumber daya
yang terbatas untuk mencapai tujuan perusahaan.
Tujuan perusahaan pada umumnya adalah memaksimalisasi keuntungan, namun karena
terbatasnya sumber daya, maka dapat juga perusahaan meminimalkan biaya.
Linear Programming memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu :
1. penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi
2. kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan
3. ada beberapa alternatif penyelesaian
4. hubungan matematis bersifat linear
Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang
harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu:
1. certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah
diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa. KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 2
2. proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan
fungsi kendala.
3. additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas
individu.
4. divisibility (bisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer
(bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.
5. non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau
variabel tidak negatif.
Dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan Linear Programming, ada dua
pendekatan yang bisa digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya
bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua.
Sedangkan metode simpleks bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel
keputusan dua atau lebih.
Dalam Bab I ini, akan dibahas Linear Programming dengan metode grafik untuk fungsi
tujuan baik maksimum maupun minimum. Fungsi tujuan maksimum akan diuraikan pada topik I
sedang fungsi tujuan minimum akan diuraikan pada topik II.
Dengan mempelajari modul ini dengan baik dan benar, diharapkan Anda dapat memahami
permasalahan Linear Programming dengan metode grafik.
Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:
1. Mengenal linear programming sebagai alat pengambilan keputusan
2. Merumuskan permasalahan operasi ke dalam bentuk linear programming
3. Menyelesaikan permasalahan linear programming dengan grafik/ matematik
4. Memahami permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan
redundancy.
Linier Programming dengan Metode Grafik :
Fungsi Tujuan Maksimisasi
TOPIK 1
A. FORMULASI PERMASALAHAN
Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya
terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama
yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear
Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah :
1. pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi
2. identifikasikan tujuan dan kendalanya
3. definisikan variabel keputusannya
4. gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara
matematis.
Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas
perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh
dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah
$5,-.
Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala
keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk
pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan
2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja
yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah
jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang
sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?
Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan
profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 4
pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan
tampak sebagai berikut:
TABEL 1.1 Informasi Permasalahan Krisna Furniture
Jam kerja untuk
membuat 1 unit
produk
Meja Kursi
Total waktu
tersedia per
minggu
Pembuatan 4 2 240
Pengecatan 2 1 100
Profit per unit 7 5
Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka
memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang
sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan
adalah meja (X1) dan kursi (X2).
Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah
menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala.
1. Fungsi Tujuan
Tujuan perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan
fungsi tujuan sebagai berikut :
.
P = ($7 x jumlah meja + ($5 x jumlah kursi
Yang diproduksi) yang diproduksi)
Atau secara matematis dapat dituliskan :
Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2
2. Fungsi kendala
Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan
secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu.
Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum
atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan. KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 5
Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total
waktu yang diperlukan untuk pembuatan X1 (meja) dimana untuk membuat satu unit meja
diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk membuat satu unit
kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam
pertidaksamaan matematis menjadi :
Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui
bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan X1 (meja) dimana untuk mengecat satu
unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk mengecat
satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan
dalam pertidaksamaan matematis menjadi :
Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1
dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa
X1 ≥ 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)
X2 ≥ 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)
Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai
berikut :
Fungsi tujuan :
Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2.
Fungsi kendala :
4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (kendala departemen pembuatan)
2X1 + 1 X2 ≤ 100 (kendala departemen pengecatan)
X1 ≥ 0 (kendala non negatif pertama)
4 X1 + 3 X2 ≤ 240
2X1 + 1 X2 ≤ 100 KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 6
X2 ≥ 0 (kendala non negatif kedua)
B. PENYELESAIAN LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK
Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan
metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak bisa digunakan
untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.
Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan
fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah
tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.
4 X1 + 3 X2 = 240
Kendala ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu.
Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk
menggambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari
titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu
apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan
memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat X1 =
0.
Kendala I: 4 X1 + 3 X2 = 240
memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
4 X1 + 0 = 240
X1 = 240/4
X1 = 60.
memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0
0 + 3 X2 = 240
X2 = 240/3
X2 = 80
Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,
80).
KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 7
Kendala II: 2 X1 + 1 X2 = 100
memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
2 X1 + 0 = 100
X1 = 100/2
X1 = 50
memotong sumbu X2 pada saat X1 =0
0 + X2 = 100
X2 = 100
Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,
100).
Peraga 1.1. Grafik Area Layak
Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi
2 X1 + 1 X2 = 100 KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 8
X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 X2 = 240
4 X1 + 3 (100 - 2 X1) = 240
4 X1 + 300 - 6 X1 = 240
- 2 X1 = 240 - 300
- 2 X1 = - 60
X1 = -60/-2 = 30.
X2 = 100 - 2 X1
X2 = 100 - 2 * 30
X2 = 100 - 60
X2 = 40
Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).
Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala.
Sebagaimana nampak pada Peraga 1. 1, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah
kiri dari titik A (0; 80), B (30; 40), dan C (60; 0).
Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu
1. dengan menggunakan garis profit (iso profit line)
2. dengan titik sudut (corner point)
Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan
menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai
menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible
region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai
yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi
angka 7 (koefisien X1) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7
X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2 pada
titik (0, 7).
Dari Peraga 1. 2 dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang merupakan
titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai
X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan
kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan
menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai X1 = 30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 9
hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan
memberikan profit maksimal adalah memproduksi X1 sebanyak 30 unit, X2 sebanyak 40 unit
dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.
Peraga 1. 2. Iso profit line
Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari
nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat
dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40),
dan C (50, 0).
Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.
Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.
Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.
Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350. KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 10
Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan
memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh
keuntungan optimal sebesar 410.
METODE GRAFIK
PENDAHULUAN
Linear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu
manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan sumber daya
yang terbatas untuk mencapai tujuan perusahaan.
Tujuan perusahaan pada umumnya adalah memaksimalisasi keuntungan, namun karena
terbatasnya sumber daya, maka dapat juga perusahaan meminimalkan biaya.
Linear Programming memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu :
1. penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi
2. kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan
3. ada beberapa alternatif penyelesaian
4. hubungan matematis bersifat linear
Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang
harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu:
1. certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah
diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa. KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 2
2. proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan
fungsi kendala.
3. additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas
individu.
4. divisibility (bisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer
(bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.
5. non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau
variabel tidak negatif.
Dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan Linear Programming, ada dua
pendekatan yang bisa digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya
bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua.
Sedangkan metode simpleks bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel
keputusan dua atau lebih.
Dalam Bab I ini, akan dibahas Linear Programming dengan metode grafik untuk fungsi
tujuan baik maksimum maupun minimum. Fungsi tujuan maksimum akan diuraikan pada topik I
sedang fungsi tujuan minimum akan diuraikan pada topik II.
Dengan mempelajari modul ini dengan baik dan benar, diharapkan Anda dapat memahami
permasalahan Linear Programming dengan metode grafik.
Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:
1. Mengenal linear programming sebagai alat pengambilan keputusan
2. Merumuskan permasalahan operasi ke dalam bentuk linear programming
3. Menyelesaikan permasalahan linear programming dengan grafik/ matematik
4. Memahami permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan
redundancy.
Linier Programming dengan Metode Grafik :
Fungsi Tujuan Maksimisasi
TOPIK 1
A. FORMULASI PERMASALAHAN
Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya
terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama
yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear
Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah :
1. pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi
2. identifikasikan tujuan dan kendalanya
3. definisikan variabel keputusannya
4. gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara
matematis.
Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas
perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh
dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah
$5,-.
Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala
keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk
pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan
2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja
yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah
jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang
sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?
Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan
profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 4
pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan
tampak sebagai berikut:
TABEL 1.1 Informasi Permasalahan Krisna Furniture
Jam kerja untuk
membuat 1 unit
produk
Meja Kursi
Total waktu
tersedia per
minggu
Pembuatan 4 2 240
Pengecatan 2 1 100
Profit per unit 7 5
Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka
memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang
sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan
adalah meja (X1) dan kursi (X2).
Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah
menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala.
1. Fungsi Tujuan
Tujuan perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan
fungsi tujuan sebagai berikut :
.
P = ($7 x jumlah meja + ($5 x jumlah kursi
Yang diproduksi) yang diproduksi)
Atau secara matematis dapat dituliskan :
Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2
2. Fungsi kendala
Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan
secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu.
Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum
atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan. KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 5
Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total
waktu yang diperlukan untuk pembuatan X1 (meja) dimana untuk membuat satu unit meja
diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk membuat satu unit
kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam
pertidaksamaan matematis menjadi :
Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui
bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan X1 (meja) dimana untuk mengecat satu
unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk mengecat
satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan
dalam pertidaksamaan matematis menjadi :
Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1
dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa
X1 ≥ 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)
X2 ≥ 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)
Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai
berikut :
Fungsi tujuan :
Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2.
Fungsi kendala :
4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (kendala departemen pembuatan)
2X1 + 1 X2 ≤ 100 (kendala departemen pengecatan)
X1 ≥ 0 (kendala non negatif pertama)
4 X1 + 3 X2 ≤ 240
2X1 + 1 X2 ≤ 100 KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 6
X2 ≥ 0 (kendala non negatif kedua)
B. PENYELESAIAN LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK
Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan
metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak bisa digunakan
untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.
Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan
fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah
tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.
4 X1 + 3 X2 = 240
Kendala ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu.
Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk
menggambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari
titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu
apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan
memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat X1 =
0.
Kendala I: 4 X1 + 3 X2 = 240
memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
4 X1 + 0 = 240
X1 = 240/4
X1 = 60.
memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0
0 + 3 X2 = 240
X2 = 240/3
X2 = 80
Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,
80).
KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 7
Kendala II: 2 X1 + 1 X2 = 100
memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
2 X1 + 0 = 100
X1 = 100/2
X1 = 50
memotong sumbu X2 pada saat X1 =0
0 + X2 = 100
X2 = 100
Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,
100).
Peraga 1.1. Grafik Area Layak
Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi
2 X1 + 1 X2 = 100 KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 8
X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 X2 = 240
4 X1 + 3 (100 - 2 X1) = 240
4 X1 + 300 - 6 X1 = 240
- 2 X1 = 240 - 300
- 2 X1 = - 60
X1 = -60/-2 = 30.
X2 = 100 - 2 X1
X2 = 100 - 2 * 30
X2 = 100 - 60
X2 = 40
Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).
Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala.
Sebagaimana nampak pada Peraga 1. 1, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah
kiri dari titik A (0; 80), B (30; 40), dan C (60; 0).
Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu
1. dengan menggunakan garis profit (iso profit line)
2. dengan titik sudut (corner point)
Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan
menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai
menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible
region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai
yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi
angka 7 (koefisien X1) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7
X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2 pada
titik (0, 7).
Dari Peraga 1. 2 dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang merupakan
titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai
X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan
kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan
menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai X1 = 30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 9
hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan
memberikan profit maksimal adalah memproduksi X1 sebanyak 30 unit, X2 sebanyak 40 unit
dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.
Peraga 1. 2. Iso profit line
Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari
nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat
dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40),
dan C (50, 0).
Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.
Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.
Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.
Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350. KODE MK I / STEKPI / BAB
1.35 10
Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan
memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh
keuntungan optimal sebesar 410.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar